母函数详讲

参考仪式黑刃和小飞_Xiaofei大佬们博客；

母函数，又称生成函数，是ACM竞赛中经常使用的一种解题算法，常用来解决组合方面的题目。

本文讲解母函数，但不讲解该算法的基础理论。读者随便找一本组合数学教材便可找到相应的内容，或者直接在网上搜索一下。

母函数通常解决类似如下的问题：

给5张1元，4张2元，3张5元，要得到15元，有多少种组合？

某些时候会规定至少使用3张1元、1张2元、0张5元。

某些时候会规定有无数张1元、2元、5元。

还有比如投两个色子得到6

得到为5.

解题过程

解题时，首先要写出表达式，通常是多项的乘积，每项由多个x^y组成。如(1+x+x^2)(1+x^4+x^8)(x^5+x^10+x^15)。

通用表达式为

n2有时候是无限大。

之后就实现表达式相乘，从第一个因子开始乘，直到最后一个为止。此处通常使用一个循环，循环变量为i。每次迭代的计算结果放在数组a中。计算结束后，a[i]表示权重i的组合数，对应具体问题的组合数。

循环内部是把每个因子的每个项和a中的每个项相乘，加到一个临时的数组b的对应位（这里有两层循环，加上最外层循环，总共有三层循环），之后就把b赋给a。

通用模板

//为计算结果，b为中间结果。
int a[MAX],b[MAX];
//初始化a
memset(a,0,sizeof(a));
a[0]=1;
for (int i=1;i<=17;i++)//循环每个因子
{
	memset(b,0,sizeof(b));
	for (int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=P;j++)//循环每个因子的每一项
		for (int k=0;k+j*v[i]<=P;k++)//循环a的每个项
			b[k+j*v[i]]+=a[k];//把结果加到对应位
	memcpy(a,b,sizeof(b));//b赋值给a
}

P是可能的最大指数。拿钞票组合这题来说，如果要求15元有多少组合，那么P就是15；如果问最小的不能拼出的数值，那么P就是所有钱加起来的和。P有时可以直接省略。具体请看本文后面给出的例题。
如果n2是无穷，那么第二层循环条件j<=n2[i]可以去掉。

优化

//初始化a，因为有last，所以这里无需初始化其他位
a[0]=1;
int last=0;
for (int i=0;i<K;i++)
{
	int last2=min(last+n[i]*v[i],P);//计算下一次的last
	memset(b,0,sizeof(int)*(last2+1));//只清空b[0..last2]
	for (int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=last2;j++)//这里是last2
		for (int k=0;k<=last&&k+j*v[i]<=last2;k++)//这里一个是last，一个是last2
			b[k+j*v[i]]+=a[k];
	memcpy(a,b,sizeof(int)*(last2+1));//b赋值给a，只赋值0..last2
	last=last2;//更新last
}

下面看几个例题。

一、hdu 1085和hdu 1171两题套用了第二个模板，省略了代码中二三层循环里关于last2的条件（其实也可以加上）。

详见：

hdu 1085：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17041467

hdu 1171：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17041709

二、hdu 1398套用了第一个模板，因为n2中每一项为无穷大，所以n2数组就省略了。

详见：

hdu 1398：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17041815

三、hdu 2079、hdu 2082和hdu 2110三题直接套用了第二个模板。

详见：

hdu 2079：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042045

hdu 2082：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042253

hdu 2110：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042421

另外，至于什么时候用第一个模板，什么时候用第二个模板，就看题目规模。

通常情况下，第一个模板就够用了，上面的那些用第二个模板的题目用第一个模板同样能AC。

但如果数据规模比较大（通常不会有这种情况），就要使用第二个模板了。

以上题目n1均为0。

四、hdu 2152是一道n1不为0的题目，我在这里分别套用第一个和第二个模板解题。

详见：

hdu 2152：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042497

这些例题都可以在小飞大佬的博客中找到